Gdt10 sa

Descripciń del juego
o
Modelos propuestos

Modelos Matem´ticos para el juego de
a
“El Gran DT”

F. Bonomo1,2 , G. Durń2,3,4 y J. Marenco1,5
a
1
Departamento de Computaciń, FCEyN, UBA
o
2
CONICET
3
Departamento de Matem´tica, FCEyN, UBA
a
4
Departamento de Ingenier´ Industrial, FCFM, Universidad de Chile
ıa
5
Instituto de Ciencias, Universidad Nacional de General Sarmiento

Diciembre de 2010

o
Modelos propuestos

o
Cada participante debe armar un equipo, con los jugadores del
f´tbol argentino, compuesto por 11 titulares y 4 suplentes.
u
Dentro de los 11 titulares, se pueden armar 3 tćticas
a
diferentes: 1 arquero, 4 defensores, 4 volantes y 2 delanteros
(la unica que exist´ hasta hace 2 campeonatos); 1-4-3-3; o
´ ıa
1-3-4-3.
Los 4 suplentes son un arquero, un defensor, un volante y un
delantero. S´lo son considerados para el juego en una
o
determinada fecha si alguno de sus respectivos titulares no
juega.
Cada jugador tiene un valor monetario, que va de los
$300.000 (los que ań no debutaron en primera) hasta
u
$13.500.000 (Verń). Los equipos no pueden superar los 60
o
millones de pesos (por la mitad de este torneo se subi´ este
o
valor a 65 millones).

o
Modelos propuestos

o

No puede haber m´s que 3 jugadores del mismo club en un
a
equipo.
Cada jugador titular suma o resta puntos en cada fecha por
criterios subjetivos (la nota que le pone el diario, o si es
catalogado como la ﬁgura de la cancha) y objetivos (si
convierte goles, si no le convierten, si es expulsado, si es
amonestado).
Fecha a fecha se pueden cambiar titulares por suplentes de
manera ilimitada y se pueden realizar hasta 4 transferencias
(reemplazos donde se incorpora a un jugador que no
pertenec´ al equipo y se retira a uno que s´ pertenec´
ıa ı ıa).

o
Modelos propuestos

Presentamos en esta charla diversas propuestas de modelos de
optimizaciń combinatoria para resolver problemas asociados
o
con el juego de “El Gran DT”.
La resoluciń de este tipo de modelos permite hallar una
o
combinaciń ´ptima para problemas que involucran una
o o
cantidad predeterminada de opciones sujeta a ciertas
restricciones (en este caso, el armado de un equipo con
restricciones de presupuesto, cantidad de jugadores por
equipo, etc.).

o Modelos “a posteriori” (descriptivos)
Modelos propuestos Modelos “a priori” (prescriptivos)

Modelos propuestos

A continuaciń, presentamos una serie de modelos, que se
o
encuentran clasificados en dos categor´
ıas.
Los modelos “a posteriori” (descriptivos) se ejecutan al
finalizar el campeonato (tambiń podr´ ejecutarse despu´s
e ıan e
de cada fecha), y permiten encontrar equipos ´ptimos de
o
acuerdo con los resultados de todo el torneo (es decir, trabajan
una vez conocidos los puntajes obtenidos por cada jugador).
Los modelos “a priori” (prescriptivos) se ejecutan antes del
inicio del campeonato y de cada fecha, y permiten generar
equipos “robustos” con la informaciń que se dispone de cada
o
jugador.


Modelos “a posteriori” (descriptivos)


Modelo 1: Equipo ﬁjo optimo de titulares.
´

Los 11 mejores titulares respetando las restricciones del juego.
Se consideran s´lo titulares, s´lo se guardan $1.200.000 para
o o
4 suplentes de $300.000 (pero a los efectos del puntaje s´lo se
o
consideran los titulares).


Modelo 1: Equipo ﬁjo optimo de titulares.
´

E : equipos; J: jugadores; P: posiciones;
x[J] binaria: x[i] = 1 es titular
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], puntaje[J]
a
(acumulado total)
cant[P] (cantidad de titulares por posici´n)
o

m´x
a puntaje[i]x[i]
i∈J
s.a.

i∈J precio[i]x[i] ≤ 58,800,000
i∈J:equipo[i]=e x[i] ≤ 3 ∀e ∈ E
i∈J:posicion[i]=p x[i] = cant[p] ∀p ∈ P


Modelo 2: Equipo ﬁjo optimo con suplentes.
´

Los suplentes s´lo juegan cuando alg´n titular correspondiente
o u
no jug´.
o


´

Variables y par´metros:
a
E : equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas;
x[J] binaria: x[i] = 1 es titular
y [J] binaria: y [i] = 1 es suplente
pt[P × F ] real: pt[p, k] = puntos del suplente en la posici´n p
o
en la fecha k
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], puntaje[J × F ],
a
juega[J × F ], M[P × F ]
M[p, k] = m´xj∈J:posicion[j]=p and juega[j,k]=1 puntaje[j, k]
a
o


´

m´x
a puntaje[i, k]x[i] + pt[p, k]
i,k∈J×F p,k∈P×F
s.a.

i∈J precio[i](x[i] + y [i]) ≤ 60,000,000
i∈J:equipo[i]=e x[i] + y [i] ≤ 3 ∀e ∈ E
i∈J:posicion[i]=p x[i] = cant[p] ∀p ∈ P
i∈J:posicion[i]=p y [i] = 1 ∀p ∈ P
( j∈J:posicion[j]=p and juega[j,k]=0 x[j])M[p, k] ≥ pt[p, k] ∀p, k ∈ P × F
j∈J:posicion[j]=p puntaje[j, k]y [j] ≥ pt[p, k] ∀p, k ∈ P × F


Modelo 3: Equipo fijo optimo con suplentes y usando
´
cambios.

En cada fecha se determina qu´ cambios se realizan (o sea,
e
quińes son titulares y quińes son suplentes).
e e

a
E : equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas; F : fechas
desde la segunda.
x[J × F ] binaria: x[i, k] = 1 juega de titular en la fecha k
y [J × F ] binaria: y [i, k] = 1 juega de suplente en la fecha k
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], puntaje[J × F ]
a
o


Modelo 3: Equipo ﬁjo optimo con suplentes y usando
´
cambios.

m´x
a puntaje[i, k]x[i, k]
i,k∈J×F
s.a.

x[i, k] + y [i, k] ≤ 1 ∀i, k ∈ J × F
i∈J precio[i](x[i, k] + y [i, k]) ≤ 60,000,000 ∀k ∈ F
i∈J:equipo[i]=e x[i, k] + y [i, k] ≤ 3 ∀e, k ∈ E × F
i∈J:posicion[i]=p x[i, k] = cant[p] ∀p, k ∈ P × F
i∈J:posicion[i]=p y [i, k] = 1 ∀p, k ∈ P × F
x[i, k] + y [i, k] − x[i, k − 1] − y [i, k − 1] = 0 ∀i, k ∈ J × F


Modelo 4: Equipo perfecto.

Equipo fijo ´ptimo con suplentes, usando cambios y las 3
o
transferencias permitidas por el reglamento.
En cada fecha se determina qu´ transferencias se realizan,
e
quińes son titulares y quińes son suplentes.
e e



a
E : equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas; F : fechas
desde la segunda.
x[J × F ] binaria: x[i, k] = 1 juega de titular en la fecha k
y [J × F ] binaria: y [i, k] = 1 juega de suplente en la fecha k
z[J × F ] binaria: z[i, k] = 1 es jugador nuevo a partir de la
fecha k
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], puntaje[J × F ]
a
o



m´x
a puntaje[i, k]x[i, k]
i,k∈J×F
s.a.

x[i, k] + y [i, k] ≤ 1 ∀i, k ∈ J × F
i∈J precio[i](x[i, k] + y [i, k]) ≤ 60,000,000 ∀k ∈ F
i∈J:equipo[i]=e x[i, k] + y [i, k] ≤ 3 ∀e, k ∈ E × F
i∈J:posicion[i]=p x[i, k] = cant[p] ∀p, k ∈ P × F
i∈J:posicion[i]=p y [i, k] = 1 ∀p, k ∈ P × F
x[i, k] + y [i, k] − x[i, k − 1] − y [i, k − 1] ≤ z[i, k] ∀i, k ∈ J × F
x[i, k] + y [i, k] ≥ z[i, k] ∀i, k ∈ J × F
1 − (x[i, k − 1] + y [i, k − 1]) ≥ z[i, k] ∀i, k ∈ J × F
i∈J z[i, k] ≤ 3 ∀k ∈ F


Resultados Gran DT Clausura 2009

Equipo ´ptimo Modelo 2
o



Modelo Puntaje Tiempo
Ganador GranDT 1279 ?
Modelo 1 1318 2 seg
Modelo 2 1394 2 hs
Modelo 3 1491 10 seg
Modelo 4 1990 10 min


Resultados Gran DT Apertura 2009

Modelo 1 1336 1 seg
Modelo 2 1442 5 min
Modelo 3 1535 5 seg
Modelo 4 2173 2 hs.



Modelo 1 1232 1 seg
Modelo 2 1343 3 min
Modelo 3 1401 1 seg


Resultados Gran DT Apertura 2010

Modelo 1 1412 2 seg
Modelo 3 1613 2 seg


Prensa

Equipo Perfecto 2008: 2068
puntos (gap 0,16 % despu´s
e
de 12hs)
Ganador GranDT 2008
(Martin Yelen): 1307 puntos


Prensa

Equipo Perfecto Clausura 2009: 1990 puntos
Ganador GranDT Clausura 2009 (Leonardo Varas) 1279 puntos


Prensa

Equipo Perfecto Apertura 2009: 2173 puntos
Ganador GranDT Apertura 2009 (Luc´ Zanel) 1375 puntos
ıa


Prensa

Equipo Perfecto Clausura 2010: 2027 puntos
Ganador GranDT Clausura 2010 (Alberto Wul) 1227 puntos


Modelos “a priori” (prescriptivos)


Sobre la composiciń del equipo
o

Diseãmos un modelo que dados los puntajes estimados que
n
aportar´ cada futbolista por fecha (estimaciń que debe
ıa o
hacer el usuario), arma el equipo “´ptimo” teniendo en cuenta
o
las restricciones del juego.
Generamos un ´ındice por jugador, ponderando 50 % al
promedio del campeonato pasado, y 50 % a las fechas jugadas
hasta el momento (3 al inicio del juego).
Buscamos maximizar el ´ ındice del equipo sujeto a cumplir con
las condiciones del juego.


Modelo

a
E : equipos; J: jugadores; P: posiciones
x[J] binaria: x[i] = 1 juega de titular
y [J] binaria: y [i] = 1 juega de suplente
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], indice[J]
a
cantMax[P], cantMin[P] (cantidad m´xima y m´
a ınima de
titulares por posici´n)
o


Modelo

m´x
a indice[i]x[i] + 0, 1indice[i]y [i]
i∈J
s.a.

x[i] + y [i] ≤ 1 ∀i ∈ J
i∈J precio[i](x[i] + y [i]) ≤ 60,000,000
i∈J:posicion[i]=p x[i] ≤ cantMax[p] ∀p ∈ P
i∈J:posicion[i]=p x[i] ≥ cantMin[p] ∀p ∈ P
i∈J x[i] = 11


¿C´mo hacer las transferencias y los cambios fecha a
o
fecha?

Actualizamos el ´
ındice de los jugadores con los resultados de
la fecha que acaba de terminar. Sumamos un 2 % a la
ponderaciń del torneo actual (48-52; 46-54, etc).
o
Maximizamos el ´ ındice del equipo sujeto a la realizaciń de las
o
3 transferencias.
Observaciń: Corremos el modelo varias veces para conseguir
o
varios sets de transferencias. Se elige a trav´s del juicio
e
experto del usuario.
Se pueden incluir otros escenarios, por ejemplo, ¿c´mo hago
o
para incluir a determinado jugador?


Modelo

a
E : equipos; J: jugadores; P: posiciones
x[J] binaria: x[i] = 1 juega de titular
y [J] binaria: y [i] = 1 juega de suplente
par´metros: equipo[J], posicion[J], precio[J], indice[J]
a
cantMax[P], cantMin[P] (cantidad m´xima y m´
a ınima de
titulares por posici´n)
o
Equi1 (equipo actual)


Modelo

m´x
a indice[i]x[i] + 0, 1indice[i]y [i]
i∈J
s.a.

x[i] + y [i] ≤ 1 ∀i ∈ J
i∈J precio[i](x[i] + y [i]) ≤ 60,000,000
i∈J:posicion[i]=p x[i] ≤ cantMax[p] ∀p ∈ P
i∈J:posicion[i]=p x[i] ≥ cantMin[p] ∀p ∈ P
i∈J x[i] = 11
iinEqui1 x[i] + y [i] ≥ 11


Equipo inicial Apertura 2009


Equipo (Tercera fecha GDT)


¿C´mo le fue al modelo en el Apertura 2009?
o
Fecha Predicci´n
o Puntaje Real
4 97,26 82
5 89,91 74
6 86,58 56
7 76,55 59
8 77,45 64
9 83,53 57
10 82,39 84
11 81,76 89
12 85,06 79
13 86,54 61
14 83,82 74
15 85,85 65
16 84,54 73
17 84,32 86
18 85,64 78
19 84,66 74
Total 1355,86 1155


¿C´mo le fue al modelo en el Apertura 2009?
o

Posiciń del modelo en el torneo: 92.688
o
Puntaje del primero: 1375
Posiciń que hubiera tenido el modelo de tener los puntos de
o
la predicciń: 7
o
Cantidad de jugadores: 1.800.000


¿En qu´ trabajamos para ajustar las predicciones?
e

Queremos conseguir una predicciń de los puntajes futuros de
o
los jugadores m´s ajustada a la realidad (no usar una mera
a
ponderaciń de los promedios de los ultimos campeonatos).
o ´
Si consigui´ramos estas predicciones m´s ajustadas, a partir
e a
de ah´ podemos aplicar nuestro modelo de optimizaciń.
ı o
Buscamos identificar qu´ factores influyen en la actuaciń de
e o
un jugador en el pr´ximo partido: sus ultimas actuaciones; es
o ´
local o visitante; a quiń enfrenta; en qu´ estadio juega; juega
e e
Copa la semana anterior o posterior; juega un cl´sico;
a
qu´ tćtica usa el entrenador.
e a
El desaf´ pasa por usar estas covariables para predecir la
ıo
variable aleatoria que representa al puntaje de cada jugador.


¿Cu´les de estas ideas fueron implementadas en el
a
Clausura 2010?

La actuaciń en el torneo anterior tiene menos peso que la
o
que el jugador tiene en el torneo actual.
Factor de ponderaciń del ´
o ındice de cada jugador de acuerdo a
si el equipo que integra es local o visitante (1,1 para los
locales; 0,9 para los visitantes).
Factor de ponderaciń del ´
o ındice de cada jugador de acuerdo a
la posiciń en la tabla del equipo que enfrenta el equipo que
o
integra (0,9 para los 5 primeros; 1 para los del medio; 1,1 para
los 5 ultimos).
´
Implementamos un equipo random para compararlo con el
equipo del modelo.


¿C´mo le fue al modelo en el Clausura 2010?
o
Fecha Predicci´n
o Puntaje Real
5 97,84 48
6 90,47 76
7 90,06 59
8 86,40 63
9 86,84 67
10 95,64 77
11 87,05 81
12 91,27 81
13 90,12 88
14 94,81 69
15 86,51 69
16 90,31 73
17 91,01 72
18 91,72 59
19 83,68 88
Total 1353,73 1070


¿C´mo le fue al modelo en el Clausura 2010?
o

Posiciń del modelo en el torneo: 13.547 (en el 1 % mejor de
o
la competencia)
o
la predicciń: 1
o
Puntaje del equipo random: 899 (posiciń 498.726).
o
Cantidad de jugadores: 1.500.000


¿Qu´ hicimos para el Apertura 2010?
e
Usamos un modelo de predicciones similar al del campeonato
anterior. Ajustamos con m´s detalle el ´
a ındice de ponderaciń
o
que considera al rival en cada partido (ya no es lo mismo
enfrentar al primero que al quinto, por ejemplo).
Consideramos no s´lo los promedios de las actuaciones de los
o
jugadores, sino tambiń las varianzas (preferimos elegir
e
jugadores m´s “estables”).
a
En las ultimas fechas ponemos un ponderador por definiciń
´ o
del torneo, esto quiere decir que se les sube un poco el ´
ındice
global de cada jugador, a aquellos jugadores de equipos que
juegan por algo importante (definiciń del campeonato,
o
clasificaciń a la Copa).
o
Las 4 transferencias que permite ahora el juego (antes eran 3)
le da al modelo la posibilidad de explorar muchas m´s a
posibilidades de mejorar al equipo fecha a fecha.
¿C´mo le fue?
o


Notables mejoras en predicciones y puntajes
Fecha Predicci´n
o Puntaje Real
4 89,85 91
5 101,77 77
6 92,64 105
7 97,07 95
8 93,9 65
9 89,6 83
10 102,44 82
11 95,85 97
12 95,01 84
13 89,25 88
14 100,34 55
15 101,16 90
16 95,58 80
17 96,73 78
18 98,03 67
19 92,56 85
Total 1531,19 1322


¿Y c´mo le fue en el torneo?
o

Posiciń del modelo en el torneo con sus 1322 puntos: 643
o
(con 1.500.000 jugadores!!!)
o
la predicciń: 1
o
Posiciń del modelo en la ciudad de Buenos Aires: 127
o
Posiciń del modelo en Villa Urquiza: 3
o
Posiciń del modelo entre los menores de 12 aõs (juega con
o n
el nombre de mi hija!!): 7


Problemas similares en la industria

Planificaciń de la producciń con demanda incierta.
o o
Si conoci´ramos la demanda podemos aplicar los modelos de
e
optimizaciń a posteriori.
o
Pero si no la conocemos debemos analizar los hist´ricos de
o
demanda, y aplicar all´ los modelos a priori (algo similar a lo
ı
que ocurre con las actuaciones hist´ricas de los jugadores de
o
f´tbol).
u
Otra aplicaciń similar: Finanzas. Definiciń de una cartera de
o o
acciones en funciń de comportamientos hist´ricos de las
o o
acciones de diferentes empresas.

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